Предыдущая лекция | Содержание | Следующая лекция
Информатика. Лекция №3. Системы счисления (продолжение).

Правила выполнения простейших арифметических действий.



Правила сложения

Пример 3.16. Сложить двоичные числа 11012 и 110112.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:

 5 4 3 2 1
+  1 1 0 1
 1 1 0 1 1

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
  1. разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;
  2. разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;
  3. третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;
  4. четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;
  5. пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:
    1 1 0 1
+ 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:
11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13;
110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;
1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*21 = 32 + 8 = 40.
Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 3.17. Сложить шестнадцатеричные числа 1С16 и 7В16.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
  2 1
+ 1 С
  7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):
  1. разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;
  2. разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116 - единица переноса.

Таким образом:
  1 С
+ 7 В
  9 7

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:
1С16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28;
7В16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123;
9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151.
Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.


Правила вычитания

Пример 3.18. Вычесть из двоичного числа 1012 двоичное число 112.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
  3 2 1
- 1 0 1
    1 1
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
  1. разряд 1 формируется следующим образом: 1 - 1 = 0;
  2. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 меньше 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10 - 1 = 1;
  3. третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

Таким образом:
  1 0 1
-   1 1
    1 0

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По таблице имеем::
1012 = 5;
112 = 3;
102 = 2.
Поскольку 5 - 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 3.19. Вычесть из шестнадцатеричного числа 9716 шестнадцатеричное число 7В16.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
  2 1
- 9 7
  7 В

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
  1. разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7 меньше В и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 - В16 = 23 - 11 = 12 = С16;
  2. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8166 - 716 = 116.

Таким образом:
  9 7
- 7 В
  1 С
Для проверки результата используем данные из примера 3.17.
Таким образом, вычитание выполнено верно.


Правила умножения

Пример 3.20. Умножить двоичное число 1012 на двоичное число 112.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
  3 2 1
* 1 0 1
    1 1
Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:
  1. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12 = 1012;
  2. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;
  3. для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 1012 + 10102 = 11112.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. таблицу):
1012 = 5;
112 = 3;
11112 = 15.
Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.

Пример 3.21. Умножить шестнадцатеричное число 1С16 на шестнадцатеричное число 7В16.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов:
  2 1
* 1 С
  7 В
Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):
  1. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С16 * В16 = 28 * 11 = 308 = 13416;
  2. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С16 * 716 = 28 * 112 = 3136 = С4016. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;
  3. для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 13416 + С4016 = D7416.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 3.17 и правилами формирования полного значения числа:
1С16 = 28;
7В16 = 123;
D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.
Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.


Правила деления

Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в десятичную систему счисления.
Пример 3.22. Разделить двоичное число 11112 на двоичное число 112.
Решение задачи представим схемой:



Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 3.20. Они показывают, что деление выполнено верно: 11112 / 112 = 1012.
Hosted by uCoz